LA TOPOLOGÍA. No es la ciencia que estudia a los topos…

5 desembre 2008

TOPOLOGÍA
Una rama de la ciencia geométrica
(Tomado de Geometría y Aprendizaje, Riveros y Zanocco – 1992)

La Topología es la geometría de la distorsión. Estudia propiedades geométricas fundamentales que quedan inalteradas cuando estiramos, retorcemos o cambiamos de cualquier otra manera el tamaño y la forma de un objeto. Estudia figuras lineales, superficies o sólidos; desde toros y nudos a redes y mapas.

A diferencia de la geometría de Euclides, que mide longitudes y ángulos, y se llama por eso métrica, la topología es una geometría NO métrica, o no cuantitativa. Sus proposiciones son ciertas, tanto para un objeto hecho de goma elástica como para las figuras rígidas de la geometría métrica.

La topología parece un tema extraño, dado que aborda formas extrañas y a primera vista improbables. Sus proposiciones o son obvias -hasta que uno se propone demostrarlas- o tan difíciles o abstractas que incluso un matemático no puede explicar su significado intuitivo. Pero la topología no es más extraña que el mundo físico tal como lo interpretamos. La geometría euclideana, a pesar de su apariencia familiar, es demasiado fantástica; trata con objetos totalmente ficticios; figuras permanentemente rígidas y cuerpos que no cambian al moverse. La topología parte de la premisa segura de que no hay objetos rígidos, de que todo el mundo es algo deformado, y se deforma más cuando se altera su posición.

El objetivo de la topología es encontrar los elmentos de orden en este desorden, lo permanente en este cambio constante (….) La Topología busca cualidades intrínsecas, aquellas que no cambian cuando la configuración espacial que se está considerando sufre, por ejemplo, un proceso de dilatación y flexion SIN RUPTURA.

La transformación de una figura en otra, SIN RUPTURA, produce una equivalencia topológica u homeomorfismo. Clásico de esto es la transformación de una rosquilla (toro) en una taza y el chiste consiguiente de que “los matemáticos son aquellos que no distinguen entre tazas y roscas”.
Veamos aquí incluso un homomorfismo muy fácil, en topología la letra “I” y la letra “L” son homeomorfismos una de otra …. es fácil imaginar:

Aquí teneis otro bonito vídeo sobre transformaciones matemáticas entre la botella de klein y una banda de Moëbius.
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